چهارمین همایش سالانه‌ی منطق ریاضی و کاربردهای آن امسال در تاریخ 27 و 28 آذر ماه در تالار تجمعات دانشکده‌ی ریاضی دانشگاه شهید بهشتی و با همکاری پژوهشگاه دانش‌های بنیادی (IPM) برگزار شد.

برگزارکنندگان این همایش دکتر پورمهدیان از پژوهشگاه دانش‌های بنیادی و دکتر مرتضی منیری از دانشگاه شهید بهشتی بودند. ضمناً لازم به ذکر است که در سه دوره‌ی قبلی این همایش پژوهشگاه دانش‌های بنیادی به ترتیب با دانشگاه‌های تبریز (1389)، اصفهان (1390) و کرمان (1391) همکاری کرده است. در ادامه به ارائه‌ی گزارشی مختصر از این رویداد و شرحی کوتاه از محتوای سخنرانی‌ها می پردازیم؛ و از ذکر جزییات فنی سخنرانی‌ها خودداری می­کنیم. سخنرانی‌ها به دو دسته سخنرانی­های یک ساعته و سخنرانی­های 20 دقیقه­ای دسته­بندی شده بودند. سخنرانی‌های یک ساعته توسط مدعوین و سخنرانی‌های 20 دقیقه­ای توسط سخنرانان مشارکتی (contributed) ایراد شد. در همایش امسال دو استاد مدعو از دانشگاه‌های خارج از ایران نیز حضور داشتند: دکتر علی عنایت از دانشگاه گوتنبرگ سوئد و دکتر یانگ یو از دانشگاه ملی سنگاپور. ایراد سخنرانی‌های این همایش بعد از خوش‌آمدگویی دکتر مرتضی منیری آغاز شد. ابتدا به ارائه‌ی توضیحاتی درباره‌ی سخنرانی­های یک ساعته‌ی همایش می‌پردازیم. دکتر علی عنایت با سخنرانی جذاب خود تحت عنوان “What Can You Gain From Satisfaction Predicates?” آغازگر سخنرانی‌های همایش بود. موضوع این سخنرانی از این قرار بود: فرض کنید که یک تئوری پایه به نام B در زبان L داریم و با افزودن یک نماد محمولی S زبان L را به زبانی به نام L’ گسترش می­دهیم. حال در زبان جدیدِ L’ مجموعه­ای از جملات را به تئوری پایه‌ی B اضافه می­کنیم به‌طوری‌که این جملات برخی خواص از محمول صدق را برای نماد S فرمول‌بندی می‌کنند. این تئوری جدید را B+ می­نامیم. بررسی ارتباطات بین دو تئوری B وB+ از زوایای مختلف از جمله اهداف اصلی این سخنرانی بود. در این سخنرانی به حالات و نمونه­های خاصی از B، از قبیل نظریه‌ی حساب پئانو PA، نظریه‌ی ZF (نظریه‌ی مجموعه‌ها با اصل‌بندی زرملو-فرانکل) و نیز ارتباطات گسترش­های ذکر شده از این نظریه‌ها با تئوری‌های حساب مرتبه‌ی دوم و زیربخش‌های آن توجه ویژه‌ای شد. همچنین، دکتر عنایت به بررسی موضوعاتی از این دست پرداخت: آیا تئوری B+ گسترشی معنایی-محافظه‌کارانه (semantically conservative) و یا گسترشی نحوی-محافظه‌کارانه (syntactically conser-vative) از B است؟ یا این‌که آیا B+ در B قابل‌تعبیر است یا نه؟ پس از معرفی مقدمات به برخی قضایا و نتایجی اشاره شد که قبلاً در این حوزه اثبات شده بودند. سپس نتایجی بیان شد که سخنران و همکارانش به‌دست آورده بودند. سخنرانی یک ساعته‌ی بعدی مربوط به دکتر صالح علیاری بود. دکتر علیاری در سخنرانی خود تحت عنوان “Algebras and Topologies Contrasting Two Views of Semantics” به مقایسه‌ی معناشناسی­های جبری و توپولوژیکی، مخصوصاً برای منطق موجهات، پرداخت. ابتدا معناشناسی جبری برای منطق موجهات معرفی شد. سپس معناشناسی توپولوژیکی با بحث پیرامون ارتباط قضیه‌ی فشردگی در منطق و قضیه‌ی فشردگی در توپولوژی آغاز شد. در ادامه معناشناسی توپولوژیکی برای منطق موجهات با استفاده از قاب‌های استون-ویتوریس (Stone-Vietoris) ارایه گردید. قاب‌های استون-ویتوریس عبارتند از قاب‌های کریپکی به همراه یک توپولوژی استون که در آن رابطه‌ی دسترسی قاب به تابعی پیوسته تبدیل می­شود. سخنرانی با این نتیجه اخلاقی به پایان رسید که برای منطق موجهات (و همچنین بسیاری از منطق‌های دیگر) ارتباط مناسبی بین معناشناسی جبری و توپولوژیکی وجود دارد و معناشناسی توپولوژیکی به اندازه‌ی معناشناسی جبری قوی و کارآمد است. دکتر رسول رمضانیان در سخنرانی خود با عنوان “A Propositional Probab-ilistic Logic” ضمن ارائه‌ی توضیحاتی درباره‌ی موضوعاتی از نظریه‌ی احتمال و سیستم‌های منطقی مرتبط با این نظریه، به ارائه‌ی یک سیستم منطقی و نیز بررسی دو معما از نظریه‌ی احتمال به نام مسئله‌ی مانتی هال (Monty Hall Problem) و مسئله‌ی دو کودک (Two Children Problem) از طریق این سیستم پرداخت. همچنین در مورد برخی از روشهای غلط در مدلسازی اینگونه مسائل و نیز در مورد برقراری قضیه‌ی صحت در این سیستم صحبت شد. دکتر یانگ یو در این همایش به ارائه‌ی دو سخنرانی پرداخت. وی در سخنرانی اول خود که آخرین سخنرانی روز نخست همایش بود و عنوان “Nonstandard Models of Arithmetic and Ramsey's Theorem” را داشت، به ارائه‌ی بحث­هایی درباره‌ی ارتباطات بین قضیه‌ی رمزی از ترکیبیات، زیرسیستم‌های حساب مرتبه‌ی اول و دوم و موضوعات نظریه‌ی محاسبات پرداخت. بسیاری از این موضوعات از زاویه‌ی دید ریاضیات معکوس (reverse mathematics) نیز مورد بررسی قرار می­گیرد. در این نوع از مسائل در واقع هدف این است که زیرسیستم­های بهینه یا کمینه از حساب مرتبه‌ی دوم که برای اثبات یک قضیه‌ی ریاضی لازم است، پیدا شود. در این سخنرانی استفاده از مدل‌های نااستاندارد نقش مهمی را جهت بررسی قضایای رمزی ایفا می‌کرد. دکتر یانگ یو ضمن مروری بر نتایج قبلاً اثبات شده پیرامون مقایسه‌ی زیربخش‌های مختلف حساب‌های مرتبه‌ی اول و دوم با یکدیگر از نظر قدرت اثبات اصول ترکیبیاتی، به ارائه‌ی نتایجی تازه در این مورد پرداخت. دکتر صالحی ­پورمهر در سخنرانی خود تحت عنوان “Cantor’s Diagonal Argument: A Characterization” مطا­لب جالبی پیرامون قطری­سازی کانتور ارایه نمود. بحث با کاربردهای مختلف قطری­سازی در شاخه­های مختلف علم آغاز شد. اثبات‌های متنوعی از ناسازگاری اصل تصریح در نظریه مجموعه­ها بر اساس قطری­سازی کانتور ارایه شد و در نهایت الگویی عمومی برای همه‌ی این‌گونه اثبات‌ها ارائه شد. در واقع نشان داده شد که با استفاده از هر تابع یک‌به‌یک دلخواه و همچنین هر تابع پوشای دلخواه می­توان اثباتی از ناسازگاری اصل تصریح ارایه داد. سپس اثبات‌های متنوعی برای قضیه‌ی کانتور در نظریه مجموعه­ها (هیچ مجموعه­ای با مجموعه‌ی توانی خود هم-عدد نیست) بر اساس قطری­سازی کانتور ارایه شد و در نهایت الگویی عمومی برای همه‌ی این‌گونه اثبات‌ها ارائه شد. به علاوه در هر دو مورد نشان داده شد که اثباتهای n-دوری و بینهایت-دوری کواین از ناسازگاری اصل تصریح و قضیه‌ی کانتور حالاتی خاص از الگوی عمومی ارایه شده هستند. سخنرانی با شرح کاربردی از قطری­سازی کانتور در نظریه محاسبه­پذیری به اتمام رسید. سه سخنرانی از سخنرانی‌های صبح روز دوم همایش دارای زمینه‌ی مشترکی بودند: منطق پایه­ای ویسر (که زیر سیستمی از منطق شهودی است و در سال 1981 معرفی شده است). روز دوم همایش با سخنرانی دکتر محمد اردشیر تحت عنوان “Basic Dialogical Logic” شروع شد. تاریخچه‌ی منطق گفتگو به سنت یونانی و اواخر قرون وسطی (حدود 1200 میلادی) بازمی‌گردد؛ جایی‌که منطق به عنوان علمی برای مطالعه‌ی گفتگوها قلمداد می­شد. در یک گفتگو دو مدعی به تبادل نظر میان یک ادعای اصلی می­پردازند. در حین بحث طرفین باید از قوانین منطقی خاصی تبعیت ­کنند. در رهیافت جدید منطق گفتگو از مفاهیم نظریه‌ی بازی‌ها به منظور ارایه‌ی معناشناسی برای سیستم‌های منطقی مختلف استفاده می­شود. این رهیافت جدید، که با کار لورنزن (Lorenzen) در 1955 آغاز شده است، معناشناسی جدیدی برای منطق شهودی ارایه می­دهد. بعداً این رهیافت منجر به ارایه‌ی معناشناسی‌ای برای منطق کلاسیک و منطق‌های غیرکلاسیک (از جمله منطق موجهات که آقای دکتر اردشیر در سخنرانی سال 1389 خود در دانشگاه تبریز به آن موضوع پرداختند) شد. در ادامه‌ی سخنرانی قواعد منطق گفتگو که معنای عملگرهای منطقی را مشخص می­کند برای منطق گزاره­ای کلاسیک و شهودی و منطق گزاره­ای پایه‌ی ویسر ارایه شدند. معنای درستی نیز با استفاده از استراتژی­های برد تعریف می­شود. سخنرانی با ارایه مثال‌های مختلف در این سه نوع منطق به پایان رسید. دکتر مجید علیزاده نیز در سخنرانی خود تحت عنوان “Residuation on Visser Algebra” به ارتباط میان منطق گزاره­ای پایه و ﻣﻨﻄﻖﻫﺎی زﻳﺮﺳﺎﺧﺘﻲ پرداخت. ﻋﻤﻞﮔﺮ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎ ﻓﻴﻮژن، ﻧﻘشی اﺳﺎﺳﻲ در ﻣﻨﻄﻖ‌ﻫﺎی زﻳﺮﺳﺎﺧﺘﻲ ﺑﺎزي ﻣﻲ‌ﻛﻨﺪ. در اﻳﻦ ﺳﺨﻨﺮاﻧﻲ ﺳﻌﻲ شد ﻛﻪ اﺛﺮ اﺿﺎﻓﻪ ﻛﺮدن ﻋﻤﻞﮔﺮ ﻛﺎﻫﺶ روي ﺟﺒﺮﻫﺎي وﻳﺴﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺪل‌ﻫﺎي ﻣﻨﻄﻖ گزاره­ای ﭘﺎﻳه ﺑﺮرﺳﻲ شود. دکتر یانگ یو در سخنرانی دوم خود که آخرین سخنرانی یک ساعته همایش و با عنوان “A Real Turing Machine” بود به ارائه‌ی مدلی از ماشین تورینگ پرداخت که برای محاسبات روی اعداد حقیقی مورد استفاده قرار می­گیرد. در گذشته نمونه‌های دیگری از ایده­های مشابه وجود داشته‌اند که از آن میان می توان ایده‌ی TTE (یعنی Type-2 Theory of Effectivity) را نام برد. در این سخنرانی یو ضمن معرفی برخی انتظارات ما از چنین مفهومی به معرفی یک ماشین تورینگ از این نوع که آن را R-ماشین (R-machine) می­نامید پرداخت. این تعریف با تعاریف و ایده­های قبلی از این مفاهیم متفاوت است. از عناصر بارز این تعریف این است که یک R-ماشین از یک نوار اصلی، تعداد نامتناهی ماشین تورینگ معمولی (که آنها را slave می‌نامد) و نیز یک مأمور کنترل و واگذاری امور محاسباتی به هر یک از این ماشین­ها تشکیل شده است. هر یک از بخش‌های این سیستم تحت قواعد معرفی شده­ای کار می­کنند و مفهوم محاسبه کردن در این سیستم تعریف می­شود. پس از معرفی این مفهوم مجردِ محاسباتی برخی از خواص آن مورد بررسی قرار گرفت. حال به صورت خلاصه‌وار به سخنرانی‌های مشارکتی بیست دقیقه­ای هم اشاره‌ی مختصری می­کنیم. سخنرانی‌های مشارکتی روز اول در یک جلسه‌ی یک ساعته پیش از ظهر این روز انجام گرفت. دکتر لطف اله نبوی در سخنرانی خود تحت عنوان "قضیه‌ی گودل و برهان پرایور در منطق موجهات" به دو مقاله‌ی کوتاه از گودل و پرایور و اهمیت آن‌ها در گسترش منطق موجهات پرداخت. در مورد یادداشت گودل در سال 1933 که پیرامون تعبیر منطق شهودی در منطق موجهات S4 می­باشد، به جز اهمیتی که این مقاله در منطق شهودی دارد، به این موضوع پرداخته شد که این یادداشت دارای این تز می­باشد که منطق موجه KT4 (که در حال حاضر به S4 معروف است) با سیستم S4 لویس معادل است. بخشی از این ادعا سرانجام در سال 1948 توسط مک­کینزی و تارسکی و بخش دیگری از آن در سال 1968 توسط کرسول و هیوز اثبات شد. در ادامه به مقاله‌ای از پرایور در سال 1963 پیرامون منطق موجهات محمولی S5 و اثباتی که از فرمول بارکان در آن ارایه شده بود پرداخته شد و نقش آن در مباحث منطق موجهات محمولی بررسی شد. خانم شهره طباطبایی سیفی در سخنرانی خود تحت عنوان "معنی‌شناسی متن با استفاده از لاندای تایپ ساده" به یکی از کاربردهای منطق ریاضی در حوزه معنی­شناسی زبانهای طبیعی پرداخت. سخنرانی با معرفی معناشناسی ریچارد مونتگیو از زبان‌های طبیعی (با استفاده از منطق­های مفهومی intensional logics) که در سه مقاله‌ی تاثیرگذار بین سال‌های 1970 تا 1973 منتشر شده بود شروع شد. بنا به نظر مونتگیو زبان‌های طبیعی تفاوت نظری مهمی نسبت به زبان‌های صوری منطقی ندارند. سپس به یکی از نقاط ضعف این روش که مشکل یافتن مرجع ضمیر در جملات زبان طبیعی است اشاره شد. در نهایت پژوهش‌های اخیر فیلیپ دو گروت که برای حل مشکل یافتن مرجع ضمیر با روش مونتگیو طراحی شده است مطرح شد. دکتر اسداله فلاحی در سخنرانی خود تحت عنوان “A Second Pretabular Classical Relevant Logic” ابتدا به تعریف منطق ربط، منطق­های پیش­جدولی، و روش‌های اثبات پیش­جدولی بودن پرداخت. منطق­های پیش­جدولی منطق‌های نامتناهی ارزشی ماکسیمال هستند؛ مانند منطق موجه S5، منطق شهودی دامت LC و منطق ربط سوبوچينسكي RM. روش‌های اثبات پیش­جدولی بودن عبارتند از روش فروكاست ادات‌هاي مفهومي به ادات‌هاي مصداقي و روش استفاده از معناشناسی كريپكي. در نهایت در این سخنرانی چند منطق ربط کلاسیک پیش جدولی جدید ارائه گردید. سخنرانی های مشارکتی روز دوم در دو جلسه یک ساعته در صبح و بعد از ظهر این روز انجام گرفت. خانم فرناز قناویزی در سخنرانی خود با عنوان “A Proposed Axiom System for Atanassov Intuitionistic Fuzzy Logic (A-IFL)” یک سیستم اصل موضوعه برای منطق فازی شهودی آتاناسوف ارائه نمود. به‌طور خلاصه منطق فازی شهودی (که در سال 1986 توسط آتاناسوف ارایه شد) به هر گزاره ارزش را نسبت می­دهد که در آن a درجه‌ی درستی گزاره و b درجه‌ی نادرستی گزاره است. لازم به ذکر است که این اولین بار است که برای منطق فازی شهودی آتاناسوف سیستم اصل موضوعه ارایه می­شود. خانم فرزانه درخشان در سخنرانی خود تحت عنوان "دستگاه حساب رشته­ای بدون ادغام برای منطق پایه‌ی گزاره­ای" به ارایه‌ی دستگاه حساب رشته­ای برای منطق گزاره­ای پایه‌ی ویسر پرداخت، که در آن قاعده‌ی ادغام (قاعده­ای که بیان می­کند تکرر فرضیات در اثبات گزاره­ها تاثیری ندارند) نه به‌صورت صریح و نه به‌صورت نهفته در صورت‌بندی دستگاه حساب رشته­ای حضور ندارد. حذف قاعده‌ی ادغام در این دستگاه می­تواند به اثبات خاتمه‌پذیری جستجوی اثبات کمک نماید. دکتر کریم خانکی در سخنرانی خود با عنوان “The Banach-Tarski Paradox and Amenability: A Model Theoretic Approach” به بیان موضوعاتی درباره‌ی منطق انتگرال و قضایای وجودی برای اندازه‌ها در حیطه‌ی گروه‌های میانگین‌پذیر پرداخت. در این سخنرانی ضمن بیان موضوعاتی در رابطه با مقدمات منطق انتگرال، گروه‌های میانگین‌پذیر و نیز پارادوکس باناخ تارسکی، به بررسی وجود اندازه­های پایدار تحت انتقالات گروه از زاویه‌ی نگاه منطق انتگرال پرداخته شد. سخنرانی خانم دکتر رقیه صفری تحت عنوان “Linear Compactness” در مورد زیربخشی از منطق پیوسته بود که فرمول‌هایش خطی هستند و منطق پیوسته‌ی خطی نامیده میشود. در منطق پیوسته‌ی خطی در ساخت فرمول‌ها از مجموعه‌ی محدودتری از عطف­ها استفاده می­شود و تعبیر فرمول‌ها توابع خطی می­شوند. ایشان در این سخنرانی به ارائه موضوعاتی در مورد خواص منطقی و نظریه‌ی مدلی این منطق و برخی تکنیک‌ها از قبیل فراضرب‌ها پرداختند و نیز مثال‌هایی قابل اصل‌بندی در این منطق ارائه نمودند. دکتر امیر خمسه در سخنرانی خود با عنوان “On Polarized Ramsey’s Theorem” به بیان موضوعات مرتبط با قضیه‌ی رمزی قطبی شده پرداخت. این قضیه در واقع نسخه­ای از قضیه‌ی اصلی رمزی (Ramsey’s theorem) در ترکیبیات است که با تغییر در تعریف مجموعه­های همگن حاصل می‌شود. در این سخنرانی جنبه­های محاسبه­ای و اثبات­پذیری این مفاهیم نیز مورد بررسی قرار گرفت. این سخنرانی آخرین سخنرانی مشارکتی همایش بود. پس از اتمام بخش علمی همایش جلسه‌ی بحث و گفتگویی برگزار شد و افراد مختلف به ارائه‌ی نظرات و پیشنهادات خود در مورد همایش پرداختند. در مورد نحوه‌ی برگزاری دور بعدی همایش هم در این بخش بحث و گفتگو شد. در نهایت همایش امسال پس از دو روز برنامه‌ی علمی فشرده، متشکل از سخنرانی‌ها، بحث‌ها و تبادل نظرها در حیطه‌های مختلف مرتبط با منطق ریاضی به اتمام رسید.